Базисные функции для конечных элементов

Федор Пинежанинов  fedor@pnp.usr.pu.ru

Павел Пинежанинов  pavel@pnp.usr.pu.ru

 

Вступление

Метод конечных элементов  используется при решении многих практических задач и поддерживается многими программными продуктами.

Цель этой статьи - снять завесу таинственности с понятия конечного элемента, что, как надеются авторы, приведет к более осмысленному их использованию: не фетишизируя с одной стороны и используя максимально их возможности с другой. Пусть это поможет  и изобретать новые элементы, позволяющие более эффективно справляться с возникающими проблемами.  При описании конечных элементов будем использовать конструктивный, а не аксиоматический подход, как более подходящий для поставленных целей.

Зададим нумерацию  и, свяжем с ней совокупность всевозможных семейств действительных чисел , которая после введения операций покомпонентного сложения и умножения на число будет n-мерным арифметическим линейным пространством  .

После введения в  обычным образом скалярного произведения и  нормы, им определяемой, получим сепарабельное Гильбертово пространство. В  этом пространстве существует ортонормированный базис  и каждую компоненту элемента из   можно  единственным образом  представить в виде линейного функционала, определяемого скалярным произведением . Здесь  по существу коэффициенты Фурье для ортонормированного базиса.

С исходной нумерацией  свяжем в трехмерном геометрическом пространстве (  вообще размерность может быть любой)  множество точек , называемых узлами интерполяции или просто узлами. Через исходную нумерацию узлы  взаимооднозначно связаны с   и в дальнейшем можно считать x и   зависящими или от узлов или от нумерации.

Следовательно, линейный функционал  можно записать в следующем виде:. Скалярное произведение , это значение    базисного вектора в  узле или наоборот и его можно рассматривать  как функцию .

С учетом этого линейный функционал можно записать в виде  . 

Все это справедливо для множества узлов, которое является подмножеством геометрического пространства, и опираясь на  теорему Хана - Банаха о расширении линейного функционала, можем записать .

Семейство функций , в случае линейной независимости своих элементов, образует базис функционального пространства над геометрическим пространством.

Выражение позволяет вычислить значение функции f в любой точке геометрического пространства по конечномерному арифметическому семейству  значений в узлах , то есть является интерполяционной формулой, если известны базисные функции.

Следуя объектно-ориентированному подходу, дадим определение конечного элемента как тройки семейств и правила вычисления -

или словами :  

{  степени свободы,      базисные функции,  узлы,  интерполяционная функция  },

при этом будем подразумевать, что все объекты удовлетворяют построению, изложенному выше. Пока будем считать, что число  базисных функций и узлов совпадает, то есть  n=m,  - такие элементы обычно называют Лаграгжевыми, а обобщения на элементы, учитывающие производные  и композиционные элементы дадим позднее.    

Обычно для функционального пространства несложно задать некоторый базис из n  линейно независимых функций, однако, его надо преобразовать к такому - который удовлетворяет выше приведенному построению.

Как это сделать ниже рассматривается на полиномиальных базисах как наиболее употребительных, что не снижает общности предлагаемых технологий. Введенной нумерации , для большей общности всегда можно сопоставить другую нумерацию . 

 

Преобразование базиса пространства

 

В трехмерном пространстве, описываемом координатами , для описания функций введем базис трехмерного пространства , содержащий n линейно независимых  функций.

Произвольную функцию можно описать через базисные функции в виде  , где - n степеней свободы разложения функции по базису.

В трехмерном пространстве обозначим связную область с помощью  n  точек - называемых узлами элемента. Обычно область является треугольником, четырехугольником возможно  с криволинейными границами  на плоскости или их пространственными аналогами в трехмерном случае.

Далее рассмотрим, как зная   базис пространства и множество узлов элемента построить множество  базисных функций ассоциированных с узлами и, при необходимости, модифицировать с целью придания степеням свободы определенных свойств. Для этого надо построить матрицу преобразования из одного базиса в другой.

Базис, связанный с конечным элементом ,  можно записать через исходный базис следующим образом

, где  - координаты нового базиса в исходном базисе и наша задача найти эти координаты.

Из построения базисных функций известны их значения в узлах  ,  значит можно вычислить и значения полиномиального базиса в этих же узлах  и, следовательно,   для i - базисной функции справедлива запись   .

Так как эта запись  справедлива для каждого узла,  то, объединяя записи по всем узлам, получим матричное уравнение

 в котором в левой части матрица P значений базиса, связанного с конечным элементом в его узлах (узел соответствует столбцу) ,  C - матрица неизвестных коэффициентов (по строкам координаты конечноэлементного базиса в исходном для пространства), E - матрица значений исходного базиса(полиномиального) в узлах конечного элемента (узел соответствует столбцу).

Таким образом,  образуют матричное уравнение  и учитывая, что базисные функции элемента обычно равны 1 в своем узле и 0 в остальных, а следовательно P - единичная матрица, можем записать  . Полученное выражение позволяет легко получать базисные функции в системе символьных вычислений "Mathematica" Стивена Вольфрама, которой и будем пользоваться.

Необходимость обращения матрицы значений исходного базиса в узлах помимо обычного требования линейной независимости базиса накладывает и некоторые ограничения на выбор узлов, так как столбцы матрицы E должны быть линейно независимы, и, следовательно, узлы должны быть по крайней мере различными.

Практически обычно используют  полиномиальный базис трехмерного пространства порядка N, полученный как степени . Для примера: m=0,1,2,3,4

  порядка 4, содержащий n=35 базисных функций.   

 

Алгоритм  построения базисных функций

В качестве примера, алгоритм построим для  треугольно-кубического элемента с внутренним узлом. Он содержит 10 узлов поэтому базис пространства возьмем из десяти полиномов не содержащих  в порядке  возрастания степеней

Построим и обратим матрицу,  столбцы которой - значения базисных функций пространства в узле конечного элемента

В методе конечных элементов обычно  базисные функции элемента были равны 1 в согласованном узле и обращаются в 0 во всех остальных и, следовательно, матрица желательных значений будет единичной. Это позволяет сразу записать базисные функции элемента, так как полученная матрица по существу есть матрица коэффициентов нового базиса в старом.

Полезно проверить, что сумма полученных базисных функций для Лагранжевых элементов дает единицу.

1

Иногда надо избавиться от внутренних узлов при этом, для обратимости матрицы Ep, надо сократить базис исходного пространства. Например, следуя Стренгу и Фиксу, объединить базисные функции. При этом надо учитывать, что аппроксимирующие свойства  полученного базиса для модифицированного элемента естественно понизятся.  При этом если функции базиса исходного пространства окажутся линейно-зависимыми, то обратить матрицу их значений в узлах,  в силу ее вырожденности, естественно не удастся. Так будет если объединить , но если изменить знак, то все нормально:

1

Линейные связи  между степенями свободы

 

Выше описан 10 узловой конечный элемент от двух переменных с внутренним узлом и возможный вариант понижения его до 9 внешних узлов через объединение в линейной комбинации  элементов полиномиального пространства.

Иногда, исходя из геометрических или физических соображений,  удобно понижать размерность исходного пространства через задание некоторых линейных условий на - степени свободы линейной интерполирующей формы .

Рассмотрим технологию такого преобразования. Пусть исходное полиномиальное пространство и число узлов согласованы, но мы хотим исключить один узел предположив  , тогда, желательные степени свободы можно записать в виде вектора

где матрица связи S почти  единичная за исключением строк связанных с зависимыми степенями свободы, которые просто заменяют зависимую степень свободы на соответствующее линейное соотношение от независимых степеней свободы.

Запишем линейную форму в матричном виде учитывающем соотношение связи

. Первые два сомножителя можно рассматривать как преобразование базиса с понижением количества базисных функций так как  i столбец,

соответствующий i зависимому узлу всегда нулевой и, следовательно, согласованная с ним базисная функция тождественный 0 и ее можно опустить. Новый базис будет   .

Практическое применение этого подхода рассмотрим на примере исключения внутреннего узла для треугольно-кубического элемента.  Сьярле и Равьял предложили исключать внутренний узел,  определив его как линейную комбинацию внешних узлов по следующему правилу .

 

Как обычно сначала строим полиномиальный базис

Затем строим базис конечного элемента с внутренним узлом

Строим матрицу связей в виде списка для "Математики"

Умножением базиса элемента на матрицу связей получаем новый базис для элемента без внутреннего узла и проверяем, что сумма новых базисных функций равна 1

1

Несложно проверить, что коэффициенты перед срединными и угловыми узлами удовлетворяют ниже приведенному уравнению. Это уравнение позволяет подобрать много различных пар коэффициентов, которые позволяют исключать внутреннюю точку и строить удовлетворительные базисные функции. Почему надо предпочесть коэффициенты 4 и -6 для авторов загадка.

Элементы с производными

 Ранее мы привели определение конечного элемента как тройки семейств и правила вычисления

и считали m = n. Записывая базисные функции  через исходный базис пространства и опираясь на знание их значений в узлах , мы получали уравнение для квадратных матриц из решения которого, находили неизвестные коэффициенты конечноэлементного базиса, а следовательно и сами базисные функции.

Пусть m <n , тогда P и E будут прямоугольными матрицами и, для разрешимости уравнения, мы должны доопределить n-m соотношениями. Если нам известны n-m значений некоторых производных в узлах, то продифференцировав выражение для   или направлению получим соотношения для доопределения  до квадратных матриц, а следовательно и для определения базисных  функций , учитывающих информацию о производных.

Для примера, пусть известна информация о производных   в некоторых узлах тогда

.

Так если известна информация о соответствующих производных во всех узлах, то получим классические Эрмитовы конечные элементы. При этом  степеней свободы должно быть в 3 раза больше чем узлов интерполяции для трехмерного пространства.

Ниже приведен пример построения базисных функций для двухузлового Эрмитова элемента

Еще пример элемента с производными по углам и точкой в центре

Геометрия элементов

Для двухмерного пространства можно использовать, например, такие элементы:

Для трехмерного пространства можно использовать что-то похожее на эти элементы:

Приведенными изображениями не ограничиваются возможности создания элементов.Обращаем ваше внимание на то, как введение некоторых разумных ограничений на область интерполяции естественным образом порождает понятия о углах, ребрах и гранях конечных элементов.

 

 

Заключение

Наверное следовало бы еще написать о изоморфизме конечных элементов, основываясь на котором удобно интегрировать функции определенные на них, о оценке интерполяционных свойств базисных функций с помощью функции Series, разлагающей в ряд Тейлора и дающей оценку остаточного члена.

Полезно описать проверку взаимной однозначности отображения одного элемента на другой и построение линейных, поверхностных и объемных элементов в , стоило рассказать как с помощью линейного функционала определить какую же область пространства занимает конечный элемент.

Интересно было бы рассмотреть, как строить специальные комбинированные элементы, основанные на внедрении  логических операторов в понятие базисных функций, например, для трещин или специальных геометрических форм.

Надо бы рассказать, как строить глобальную матрицу и почему полезно использовать при этом однородную систему, для ее модификации в соответствии с краевыми условиями в виде линейных связей.

Но об этом и многом другом в следующий раз по мере поступления Ваших вопросов, поэтому следите за публикациями.

Литература

 

 

Санкт-Петербург,  декабрь 1999 

 

Вернуться на домашнюю страницу

 

Hosted by uCoz